teori peluang

Pendahuluan

Pada awalnya teori peluang hanya digunakan dalam permainan judi. Seorang penjudimenginginkan kemenangan besar, sehingga meminta bantuan ahli matematika mengatur siasat untuk memenangkan permainan. Namun akibat perkembangan teori peluang yang pesat, teori tersebut akhirnya digunakan dalam banyak bidang seperti politik, ekonomi, peramalan cuaca, dan penelitian ilmiah.

Teori peluang berkaitan dengan perhitungan peluang atau kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Dan suatu kejadian merupakan bagian dari suatu kejadian yang lebih besar yang disebut ruang sampel. Untuk memperoleh perhitungan yang benar tentang peluang suatu kejadian maka perlu diketahui seberapa banyak kejadian itu dapat terjadi dan seberapa banyak ruang sampelnya dapat terjadi. Karenanya sebelum kita membicarakan tentnag peluang, kita perlu mengetahui cara menghitung atau mencacah banyak terjadinya suatu kejadian atau banyak anggota suatu kejadian.

Kaidah pencacahan

Banyak anggota-anggota kejadian-kejadian sederhana dapat dengan mudah kita cacah dengan mendaftar atau mendata terlebih dahulu seluruh anggota dari ruang sampelnya

Contoh : misal dua buah uang logam dilempar secara bersamaan. Misal K adalah kejadian munculnya satu gambar dan satu angka. Tentukan banyak anggota K.

Misal A menyatakan munculnya angka dan G menyatakan munculnya gambara . Maka ruang sampel dari pelemparan dua mata uang tersebut adalah: AA, AG, GA, dan GG. Dengan demikian maka K sebagai kejadian munculnya satu gambar dan satu angka mempunyai anggota yaitu: AG dan GA. Banyak anggota K = 2

Kaidah penggandan

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara, dan jika kejadian tersebut diikuti oleh kejadian lain yang dapat terjadi dalam n cara, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam m.n cara

Contoh : ali mempunyai 5 buah kemeja dan 3 celana. Berapa banyak cara ali memasangkan kemeja dan celananya?

Banyak kemeja = 5 ; banyak celana = 3.

Banyak cara memasangkan kemeja dan celana = (5.3) cara = 15 cara

Kaidah penggandaan umum

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n₁ cara, dan jika kejadian tersebut diikuti oleh kejadian kedua yang dapat terjadi dalam n₂ cara, jika kedua kejadian tersebut diikuti oleh kejadian ketiga yang terjadi dalam n₃ cara, … demikian seterusnya, maka k kejadian yang terjadi secara berurutan tersebut dapat terjadi dalam (n₁∙n∙₂n₃∙… ∙n_k) cara

Faktorial

Ada satu notasi yang akan banyak digunakan pada pembahasan selanjutnya. Notasi tersebut disebut faktorial. Faktorial dinotasikan dengan: “!”. Faktorial merupakan penulisan singkat dari perkalian sederetan bilangan bulat positif terurut hingga 1

Faktorial di definisikan sebagai berikut:

0 ! = 1 ;                        1 ! = 1 ;             2 ! = 2 ∙ 1 = 2 ;             3!= 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Secara umum, faktorial suatu bilangan dirumuskan dengan:

n! = n ∙ ( n – 1 ) ∙ (n – 2) ∙ …  ∙ 1 = n ∙ ( n – 1 )

contoh:  4! . 3! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 144

Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsure yang tersedia.

Banyaknya permutasi dari k unsure yang diambil dari unsur n yang tersedia, sama dengan

nPk =   n!     _

( n – k )!

Contoh : tentukan banyak susunan atau pemutasi 4 huruf yang diambil  dari 4 huruf: a,b,c,d yang tersedia

Banyak susunan atau permutasinya =

₄p₄ =   4!     __ = 4! = 4∙3∙2∙1 = 24

(4 – 4)!          0!         1

Susunan melingkar

Banyaknya permutasi n unsur yang melingkar  sama dengan ( n – 1 )!

Contoh: Banyaknya permutasi 5 orang yang duduk mengelilingi suatu meja bundar

=( 5 – 1 )! = 4! = 4∙3∙2∙1 = 24

Definisi kombinasi

Banyak kombinasi dari k unsur yang tersedia sama dengan :

_nC_k =    n!    –

k!( n – k )!

Contoh: Dalam suatu ruangan terdapat 10 orang yang saling bersalaman, tentukan banyaknya salaman yang terjadi!

₁₀C₂ =   10!     _ = 10∙9∙8! = 45

2! ∙ ( 10 – 2 )!       2∙1∙8!

Peluang suatu kejadian

Kejadian dan ruang sampel

Sebuah uang logam empunyai dua sisi, misal sisi pertama kita sebut sisi angka (A) dan sisi kedua kita sebut sisi gambar (G). Jika sebuah uang logam kita putar, maka setelah uang ligam berhanti berputar, satu sisinya akan menghadap keatas sehingga dapat kit abaca. Dalam pemutaran uang logam tersebut kita dapat melihat kenyataa : sisi angka (A) terbaca atau sisi gambar terbaca (B) merupakan satu kejadian. Gabungkan dari kejadian sisi angka terbaca dengan sisi gambar terbaca disebut ruang sampel

Kejadian I = { A }, kejadian II = { G } → Ruang sampel = { A , G }

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil suatu percobaan. Ruang smpel umumnya dinotasikan dangan S. Setiap anggota ruang sampel disebut titik sampel atau sampel kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh : Misal senuah dadu dilempar. Jika S adalah ruang sampel sisi atas terbaca, tentukanlah S dan banyak anggota S. jika X menyatakan kejadian sisi atas yang terbaca adalah bilangan genap, tentukanlah X dan banyak anggota X

Ruang sampel adalah : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Banyak anggota S adalah n(S) = 6

X = kejadian sisi atas terbaca adalah bilangan genap

→ X = { 2, 4, 6}. Banyaknya anggota X adalah n(X) = 3

Definisi peluang

Besarnya kemungkinan terjadinya sebuah kejadian disebut peluang kejadian atau probabalitas kejadian. Penentuan nilai peluang kejadian didasarkan kepada banyak anggota kejadian dan banyak anggota ruang sampelnya. Misalnya dalam pemutaran sebuah mata uang, kejadian yang mungkin muncul adalah sisi angka dan sisi gambar.

Banyaknya anggota ruang sampel samandengan 2. Ini berarti peluang munculnya sisi angka sama dengan ½ dan peluang munculnya sisi gambar sama dengan ½.

Misal dalam suatu percobaan setiap hasil mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi.

Jika banyak anggota kejadian K = n(K) dan banyak anggota ruang sampelnya = n(S) maka

peluang terjadinya kejadian K adalah P(K)= n(K)

n(S)

Kisaran nilai peluang

Jika kita perhatikan nilai peluang yang kita peroleh tersebut berada diantara 0 dan 1karena kejadian merupakan himpunan bagi dat raung sampel maka banyakny anggota kejadian lebih kecil atau sama dengan banayk anggota ruang sampel. 0 ≤ n(K) ≤ n(S).

Karena peluang kejadian K adalah P(K) = n(K) maka 0 ≤ n(K) ≤ 1

n(S)

jika peluang suatu kejadian sama dengan 0, maka kejadian tersebut disebut kejadian yang mustahil terjadi atau tidak mungkin terjadi. Misalnya kejadian manusia dapat hidup di matahari, merupakan kejadian yang mustahil. Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, maka kejadian tersebut disebut kejadian yang pasti terjadi. Misalnya kejadian malam akan gelap jika tidak ada penerangm merupakan kejadian pasti terjadi

Jika S adalah ruang sampel maka peluang S sama sengan 1.P(S) = 1.

Jika k merupakan kejadian yang bukan kejadian k maka P( k ) = 1 – P(K).

Contoh : misal sebuah dadu dilempar. Tentukan peluang muncul mata dadu 7

Sebuah dadu dilempar, maka ruang sampelnya adalah:

S = {1,2,3,4,5,6} dan n(S) = 6

Misal k₁ adalah kejadian muncul mata dadu sama dengan 7 karena tidak ada mata dadu bernili 7 maka n(k₁)=0

Peluang muncul mata dadu sama dengan 7 atau p(k₁)=0

Freakuensi relatif

Peluang dari titik-titik sampel (yang membentuk ruang sampel) tidak selalu dapat dianggap sama. Misalnya dalam pelemparan sebuah uang logam tidak sama. Contoh lain adalah dalam percobaan menembak sebuah benda, peluang tembakan mengenai sasaran tidak sama dengan peluang tidak berhasil mengenai sasaran.

Bila setiap titik sampel tidak dianggap sama, maka peluang dari masing-masing titik sampel ditentukan berdasarkan hasil percobaan. Dengan melakukan percobaan secara berulang-ulang kita dapat mencatat banyak terjadinya suatu sampel. Peluang dari titik sampel adalah hasil bagi dari banyak terjadinya titik sampel dengan banyak percobaan. Metode mendapatkan peluang seperti ini dikenal sebagai definisi peluang berdasarkan frekuensi relatif

Frekuensi harapan

jika suatu percobaan dilakukan sebanyk N kali, dan peluang kejadian k=P(K) maka frekuensi harapan munculnya kejadian sama dengan P(K)•N

Contoh : misal sebuah dadu setimbang dilempar sebanyak 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu 3

Pelemparan dadu setimbang peluang muncul angka 3 = 1/6

Banyak percobaan = 30

Frekuensi harapan muncul angka 3 = 1/6 x 30 = 5

Nilai harapan matematik

Nilai harapan matematik (nilai rata-rata) dari x adalah:

_n

μ=E(X) = ∑x_i . f_i

ⁱ⁼¹

‌

Kejadian majemuk

Peluang komplemen suatu kejadian

Misal K adalah suatu kejadian pada suatu percobaan. Peluang komplemen kejadian

P(K) = 1 – P(K)

Contoh : Misal sepasang dadu di lempar secara bersamaan. X menyatakan kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah bilangan prima

1. Tentukan peluang X
2. Tentukan peluang jumlah mata dadu yang bukan bilangan prima

Banyak anggota ruang sampelnya = 6² = 36

1. Kejadian muncul mata dadu bilangan prima adalah 15

Karena banyak anggota kejadian adalah n(X) = 15 maka P(X) = 15/36

1. Peluang jumlah mata dadu yang muncul bukan bilangan prima adalah :

P(X) = 1 – P(X) = 1 – 15/36 =21/36

Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas

Jika kejadian A dan B saling lepas maka peluang kejadian A atau B terjadi adalah :

P(AUB) = P(A) + P(B)

Jika kejadian A dan B tidak saling lepas maka peluang kejadian A atau B terjadi adalah :

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Kejadian yang saling bebas stokasik

Misal peluang A=P(A) dan peluang kejadian B =P(B).

Jika kejadian A dan B bebas maka peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :

P(A   B) =P(A) . P(B)

Peluang bersyarat

Jika kejadian  B terjadi setelah kejadian A telah terjadi, maka peluang kejadian B disebut peluang bersyarat, dinotasikan dengan P(B|A), dan dirumuskan dengan

P(B|A) = P(A   B)

P(A)

Jika dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus maka

P(A  B) = P(A) . P(B|A)

Jika kejadian A dan B bebas maka P(A  B)= P(A) . P(B)

Contoh : dalam senuah kotak terdapat 16 lampu pijar, 4 diantaranya rusak. Jika dua lampu pijar diambil secara acak satu demi satu tanpa pemulihan, tentukanlah peluang kedua lampu pijar yang terambil rusak

Peluang kejadian A P(A) = 4/16 =1/4

Peluang kejadian B P(B) = P(B|A) = 3/15= 1/5

Peluang kejadian lampu pijar pertama terambil rusak adalah:

P(A  B) = P(A). P(B|A) = 1/4 . 1/5 = 1/20